A kombinatorika a matematika egyik olyan témaköre, amely szinte minden évben megjelenik az érettségin. A feladatok első ránézésre gyakran bonyolultnak tűnnek, valójában azonban néhány alapfogalom biztos ismeretével a legtöbb kombinatorikai probléma könnyen megoldható.

A kombinatorika alapvetően azt vizsgálja, hogy egy adott helyzetben hány különböző módon lehet elrendezni vagy kiválasztani elemeket. Az érettségi feladatokban tipikusan különböző tárgyak, személyek vagy számok elrendezése, kiválasztása vagy sorrendbe állítása jelenik meg.

A feladatok többsége három alapfogalom valamelyikéhez kapcsolódik:

• permutáció

• variáció

• kombináció

A siker kulcsa az, hogy felismerjük, hogy az adott helyzetben számít-e a sorrend, illetve hogy minden elemet felhasználunk-e vagy csak néhányat választunk ki.

Az alábbiakban röviden áttekintjük ezeket az alapfogalmakat.

Permutáció

Permutációnak nevezzük azt az esetet, amikor az összes elemet sorba rendezzük, és a sorrend számít.

Ha például három különböző könyvet szeretnénk egymás mellé tenni egy polcon, akkor az számít, hogy milyen sorrendben kerülnek egymás mellé.

Ha $n$ különböző elemet szeretnénk sorba rendezni, akkor a lehetséges sorrendek száma:

$$n!$$

Ezt faktoriálisnak nevezzük.

Például:

$$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$

Ez azt jelenti, hogy négy különböző elem 24 különböző sorrendben rendezhető el.

Permutációs feladatok az érettségin gyakran jelennek meg például:

• számjegyek rendezésekor

• betűk sorrendbe állításakor

• személyek sorba rendezésekor

Variáció

Variációról akkor beszélünk, amikor nem az összes elemet használjuk fel, hanem csak néhányat választunk ki, és a sorrend számít.

Például ha egy versenyen 10 induló közül kell kiválasztani az első három helyezettet, akkor a sorrend egyértelműen számít, hiszen nem mindegy, ki lesz az első, a második vagy a harmadik.

Az ismétlés nélküli variáció képlete:

$$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$$

ahol

• $n$ az összes elem száma

• $k$ a kiválasztott elemek száma

Az ilyen típusú feladatok az érettségin gyakran jelennek meg például:

• dobogós helyezések meghatározásakor

• különböző pozíciók kiosztásakor

• számjegyekből képzett számok esetén

Kombináció

Kombinációról akkor beszélünk, amikor csak kiválasztunk elemeket, de a sorrend nem számít.

Például ha egy csoportból 3 tanulót választunk ki egy versenyre, akkor nem számít, hogy milyen sorrendben választjuk ki őket, csak az a lényeg, hogy kik kerülnek be a csapatba.

Az ismétlés nélküli kombináció képlete:

$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

A kombinációs feladatok az érettségin gyakran jelennek meg például:

• csapatok kiválasztásakor

• lottó típusú problémáknál

• csoportok kialakításakor

Hogyan dönthetjük el, melyik módszert használjuk?

A kombinatorikai feladatoknál mindig érdemes először két kérdést feltenni:

1. Számít a sorrend?

• Ha igen → permutáció vagy variáció

• Ha nem → kombináció

2. Az összes elemet használjuk?

• Ha igen → permutáció

• Ha nem → variáció vagy kombináció

Ez a két kérdés a legtöbb érettségi feladatnál segít eldönteni, hogy melyik módszert kell alkalmazni.

Mire kell figyelni az érettségin?

A kombinatorikai feladatoknál a leggyakoribb hiba az, hogy a diák rosszul választ módszert. Sokszor előfordul például, hogy egy kombinációs feladatot variációként számolnak ki, mert nem veszik észre, hogy a sorrend valójában nem számít.

Érdemes ezért mindig alaposan átgondolni a feladat szövegét, és megvizsgálni, hogy az adott helyzetben a sorrend szerepet játszik-e.

Mintafeladat

1.     Hányféleképpen tudok kiválasztani az 52 lapos francia kártyából 3lapot úgy, hogy 2 db ász legyen…

a.      A lapokat nem teszem vissza?

b.      A lapokat visszateszem?

Videós magyarázat

Ha szeretnéd részletesebben is megérteni a permutáció, variáció és kombináció közötti különbséget, készítettem egy videót, amelyben lépésről lépésre végig megyünk az egyik legfontosabb feladattípuson.

A videóban azt is megmutatom, hogyan lehet gyorsan felismerni, hogy egy adott érettségi feladatnál melyik módszert érdemes alkalmazni.

A videót itt tudod megnézni:
Kombinatorika érettségi feladat lépésről lépésre

Szeretnél még több érettségi feladatot?

Ha szeretnél még több kombinatorikai és érettségi típusú feladatot részletes magyarázattal, akkor nézd meg a matematika érettségi felkészítő anyagaimat az OnlineDiák oldalán.

Az anyagokban:

• részletes magyarázatokat

• kidolgozott példákat

• és érettségi típusú feladatokat találsz.

[IDE JÖN A LINK AZ OLDALADRA]